minkowski不等式(minkowski不等式的证明)

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一、什么是琴生不等式

1、琴生不等式也叫詹森不等式，琼森不等式，是一个非常著名的不等式

2、【定义】如果函数f(x)满足对定义域上任意两个数x1,x2都有(f(x1)+f(x2))/2≥f((x1+x2)/2),那么f(x)为凸函数，或下凹函数。

二、闵可夫斯基不等式公式

闵可夫斯基不等式是一个用于向量空间中L^p范数的不等式，其中p>=1且p为实数。在两个非空的极限集合的情况下，闵可夫斯基不等式阐述了极限集合之和的L^p范数不小于每个集合的L^p范数之和的p次幂。

我们设X和Y是任意两个向量空间，则L^p范数可以定义为：

||x||_p=(|x1|^p+...+|xn|^p)^(1/p)（其中x=(x1,...,xn)为向量）

那么闵可夫斯基不等式的证明如下：

我们定义x和y是两个向量，那么：

||x+y||_p^p=(|x1+y1|^p+...+|xn+yn|^p)

≤(|x1|^p+...+|xn|^p+|y1|^p+...+|yn|^p)（该不等式无需证明，可直接使用）

根据该不等式，我们可以得出闵可夫斯基不等式：

因此，L^p距离满足闵可夫斯基不等式。

三、minkowski定理

1、坐标平面上任何包含原点的、面积大于4的、凸的、关于原点对称的闭区域一定含有异于原点的整点就是闵可夫斯基定理。

2、任取一个关于原点对称且面积大于1的封闭凸图形，一定存在两点，使横纵坐标之差为整数。

3、设其中一点坐标为(x0,y0)，另一点为(x0+k,y0+b)(k,b∈Z)，并且(x0,y0)、(x0+k,y0+b)都在图形内。因图形关于原点对称，所以对于任意点(x,y)，若其在图形中，则关于原点的对称点(-x,-y)也在图形中。所以(-x0-k,-y0-b)在图形中。连接点(x0,y0)和点(-x0-k,-y0-b)，取中点((x0+(-x0-k))/2,(y0+(-y0-b))/2)，由图形为凸区域知，中点在图形内。将图形以原点为位似中心，扩大两倍。中点则为(k,b)，新图形面积大于4，且中点是整点，位于图形内。

4、对于任意一个满足条件的图形，都可以先缩小，找到中点后扩大，这样一定有一异于原点的整点在图形内，命题得证。

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